Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Calcule las siguientes derivadas
d) $f(x)=\ln (x+1), \quad f^{(4)}(x)$
d) $f(x)=\ln (x+1), \quad f^{(4)}(x)$
Respuesta
Arrancamos a calcular las primeras derivadas de $f$:
Reportar problema
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x} \)
Para esta derivada, como ya lo mencioné varias veces, tenés dos opciones para encararla:
* Regla del cociente
* Reescribirla como $(1+x)^{-1}$ y derivas con las reglas para polinomios.
Con cualquiera de los dos caminos deberías llegar a:
\( f''(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} \)
Seguimos con la misma idea:
\( f'''(x) = \frac{2}{(1 + x)^3} \)
$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$
Y acá podríamos parar, porque en realidad el ejercicio no nos pide más. En este es un poco más difícil de ver que en los anteriores, pero para esta función también podríamos encontrar un patrón para hallar la derivada que querramos. Te lo comento por si te interesa: Fijate que va cambiando el signo, según si la derivada es par o impar, además la potencia de $(1+x)$ en el denominador coincide con la derivada que estamos haciendo. Con eso ya nos podemos ir construyendo algo, aunque lo más difícil es darnos cuenta qué patrón está siguiendo el numerador: Pensalo un ratito y convencete que, si estamos calculando la derivada $n$, entonces el numerador tenemos $(n-1)!$
Entonces, la derivada de orden $n$ de $f$ va a ser:
$f^n (x) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$
En esta expresión reemplazas $n$ por la derivada que quieras, y ya la tendrías! Repito, esto no lo pide el ejercicio pero me pareció que estaba interesante para comentar :)